DEUXIÈME CHAPITRE
La formule de Galilée
E = ½ at2
Comme je l'ai promis dans les pages précédentes, nous allons procéder à une nouvelle démonstration de la formule de Galilée. Peut-être qu'elle existe déjà, je ne l'ai jamais vue dans aucun livre. L'avantage de cette nouvelle démonstration, c'est qu'elle est très facile et demande peu de mathématiques pour y arriver. En effet Galilée, comme Newton, avait eu un problème avec les mathématiques de leur époque pour résoudre leur découverte. Sans donner la démonstration au complet, je vais laisser le professeur Georges Gamow, en le citant, nous montrer les difficultés qu'a rencontrées Galilée pour arriver à la formulation définitive de sa loi.
"Galilée chercha une relation mathématique entre le temps de chute et la distance parcourue pendant ce temps. Comme la chute libre est certainement trop rapide pour être observée d'une façon détaillée par l'oeil humain, et comme Galilée ne possédait pas d'appareil moderne tel qu'une caméra de cinéma, il eut l'idée de réduire la force de gravité en laissant rouler par leur propre poids des boules de divers matériaux, le long d'un plan incliné, au lieu de les laisser tomber verticalement. Il raisonna fort correctement de la manière suivante: puisqu'un plan incliné procure un support partiel pour les objets situés sur lui, leur mouvement doit y être similaire à celui qu'ils auraient en chute libre, sauf que le temps de chute sera allongé par un facteur dépendant de la pente. Pour mesurer le temps, il utilisa une horloge à eau. (...)
(...) Le problème qu'eut à résoudre, ensuite, Galilée consistait à trouver la loi de la variation de la vitesse avec le temps, qui devait le conduire à la relation entre le temps et la distance parcourue(...). Dans son livre: DIALOGUE SUR DEUX NOUVELLES SCIENCES, Galilée écrivit que les distances augmentent comme les carrés des temps si la vitesse du mouvement est proportionnelle au temps. Il considéra un diagramme où des surfaces représentaient vitesse et temps. Il remplaça alors le mouvement continu correspondant à la pente douce et régulière du plan incliné, par un mouvement en "escalier" dans lequel la vitesse s'accroît brusquement. En prenant des intervalles de temps de plus en plus petits et de plus en plus nombreux, la différence entre le mouvement régulier et celui en escalier va devenir de moins en moins visible et disparaîtra complètement quand le nombre des intervalles considérés sera infiniment grand. (...)
(...) La méthode qui consiste à diviser une figure géométrique en un très grand nombre de petites parties et à considérer ce qui arrive quand le nombre de ces parties devient infiniment grand et leur dimension infiniment petite, a été utilisée dès le troisième siècle avant J.-C. par le mathématicien grec Archimède dans sa recherche du volume d'un cône et de quelques autres volumes géométriques réguliers. Mais Galilée a été le premier à l'utiliser pour l'étude d'un phénomène mécanique, et il a ainsi jeté les fondements d'une discipline qui, avec Newton, est devenue l'une des branches les plus importantes des Mathématiques: la MÉCANIQUE RATIONNELLE ."
Tout ça pour montrer la complexité du problème pour Galilée alors qu'il eût été beaucoup plus facile pour lui de procéder comme nous allons le faire.
De plus, dans les écoles, malheureusement trop souvent, on se contente de dire tout simplement que at2 doit être divisé par 2 parce que, expérimentalement, on constate que l'espace est toujours la moitié de at2. La démonstration qui va suivre a l'avantage d'être très simple et peut donc être facilement comprise même par des élèves qui terminent le cycle secondaire sans recourir à la Mécanique Rationnelle.
Allons-y donc pour notre démonstration. (Voir figure 3)
Le raisonnement se fait à partir d'un simple graphique linéaire; il ne sera pas nécessaire de se servir de caméra sophistiquée pour faire notre expérience; une simple règle graduée en centimètres suffira. Au lieu de laisser tomber un corps, nous allons lui faire parcourir l'espace avec l'esprit en décomposant tous les mouvements.
En supposant les coordonnées suivantes:
a = 1 cm/s2
t = le temps en secondes
E = l'espace en centimètres
V = vitesse initiale: zéro
Nous allons procéder étape par étape en faisant avancer manuellement un corps qui sera animé d'un mouvement uniformément accéléré avec une vitesse initiale de zéro. Analysons donc le mouvement, seconde par seconde, pour trouver après chacune des secondes la distance parcourue par le corps. Après 5 secondes, ce sera suffisant pour conclure à une loi.
PREMIÈRE SECONDE
Quelle sera donc la distance parcourue durant la première seconde? Comme le corps a commencé avec une vitesse initiale de zéro et a terminé avec une vitesse de 1 cm à la seconde, il n'a donc parcouru que la moitié du chemin, soit un demi-centimètre. Allons sur notre règle et notons "1s" vis-à-vis de ,5cm.
Donc durant la première seconde, E a été de:
E = ½ cm ou
E = ½ a
DEUXIÈME SECONDE
Maintenant il faut tenir compte d'un facteur supplémentaire; c'est que le corps au moment de commencer la deuxième seconde a déjà une vitesse acquise de 1 cm/s. A cause de cette vitesse acquise, il fera donc 1 centimètre de plus, auquel s'ajoutera un demi-centimètre pour la même raison que durant la première seconde parce que l'accélération continue toujours. Allons sur notre règle et notons "2s" vis-à-vis de 2 cm.
Donc durant la deuxième seconde, E a été de:
E = 1 cm + ½ cm ou
E = 1 a + ½ a
TROISIÈME SECONDE
Comme la vitesse acquise est maintenant de 2 cm/s, le corps parcourra donc 2 centimètres durant cette troisième seconde auxquels s'additionne encore un demi-centimètre, effet de l'accélération. Allons sur notre règle et notons "3s" vis-à-vis 4,5 cm.
Donc durant la troisième seconde, E a été de:
E = 2 cm + ½ cm ou
E = 2 a + ½ a
QUATRIÈME SECONDE
La vitesse acquise après 3 secondes est maintenant de 3 cm/s. Donc durant cette quatrième seconde, le corps parcourra 3 centimètres plus un demi-centimètre, toujours à cause de l'accélération qui est constante. Allons sur notre règle et notons "4s" vis-à-vis de 8 cm.
Donc durant la quatrième seconde, E a été de:
E = 3 cm + ½ cm ou
E = 3 a + ½ a
ENFIN DURANT LA CINQUIÈME SECONDE
Il parcourra maintenant 4 centimètres plus un demi-centimètre à cause de l'accélération. Allons sur notre règle et notons "5s" vis-à-vis de 12,5 cm.
Donc durant la cinquième seconde, E a été de:
E = 4 cm + ½ cm ou
E = 4 a + ½ a
Pour trouver E, l'espace parcouru durant les cinq secondes, il suffit de faire l'addition suivante:
1ère seconde : ½ cm = ½ cm
2e " : 1 cm + ½ cm = 1½ cm
3e " : 2 cm + ½ cm = 2½ cm
4e " : 3 cm + ½ cm = 3½ cm
5e " : 4 cm + ½ cm = 4½ cm
------ ------- ---------
TOTAL 10 CM + 5(½ CM) = 12½ CM
L'espace E total est donc de 12½ cm, exactement comme sur notre règle. À cette expérience en valeur numérique essayons de donner une expression algébrique, car nous sommes encore un peu loin d'une formule. Il nous faut déterminer, là-dedans, ce qui est l'accélération "a" pour ensuite en extraire le facteur temps "t". Refaisons la même addition avec la lettre "a" pour mieux découvrir les valeurs de " t". Nous obtenons alors;
1ère seconde : ½ a = ½ a
2e " : 1 a + ½ a = 1½ a
3e " : 2 a + ½ a = 2½ a
4e " : 3 a + ½ a = 3½ a
5e " : 4 a + ½ a = 4½ a
------ ------- --------
TOTAL 10 a + 5(½ a) = 12,5 a
10 a = l'espace parcouru dû aux vitesses acquises
5(½ a) = l'espace parcouru dû à l'accélération
On sait que notre expérience a duré exactement 5 secondes; il paraît donc assez évident que le facteur 10 n'est pas autre chose que 2 fois t, le temps et le facteur 5 n'est pas autre chose que 1 fois t, le temps.
On obtient donc:
E = 2t a + 1t(½ a) ou
E = 2at + ½at
Attention, cette formule est spécifique à une accélération qui dure 5 secondes seulement et ne peut être valable pour des durées différentes. Il faut maintenant la transformer afin de la généraliser pour qu'elle puisse être bonne pour toutes les durées différentes d'accélération.
Alors comment arriver à E = ½at2 ?
Voyons les choses de plus près. Si nous remarquons bien, nous constatons que le 10 de 10a n'est que la somme de 1, 2, 3 et 4. Appliquons une loi de l'arithmétique qui dit que la somme d'une suite de nombres est égale au produit du dernier nombre par la moyenne du dernier et du premier.
Si S = la somme
Si n = le premier nombre
Si N = le dernier,
On obtient l'équation suivante:
(N + n) (4 + 1)
S = N -------- = 4 -------- = 10
2 2
Si on concilie ensemble cette règle avec notre expérience, on obtient ceci:
n = 1 (dans notre expérience)
N = 4 or
t = 5 donc
t-1 = 4 ou N, donc remplaçons n par 1 et N par "t-1" afin d'exprimer le facteur 10 en temps. Quant au deuxième terme 5(½ a), il est assez évident que le facteur 5 correspond exactement à "t" , le temps. Tout cela mis ensemble, on obtient, de notre addition, l'équation suivante:
E = 10 a + 5(½ a)
(t-1) + 1
E = (t-1) --------- a + t (½ a)
2
(t-1) t t2-t
E = --------- a + ½ at = ------- a + ½ at =
2 2
at2 - at at at2 at at
E = --------- + ------- = ---- - ---- + --- =
2 2 2 2 2
at2
E = ----- ou ½ at2
2
Voilà, c'est fait. E = ½at2
Une simple règle d'arithmétique nous a permis de formuler la loi de Galilée exactement comme il l'avait fait il y a quelques siècles.
